三平方の定理とは

三平方の定理
三平方の定理は「ピタゴラスの定理」とも呼ばれ、直角三角形の3辺の長さの関係を表す式のことである。
図のように直角三角形の斜辺をc, 他の2辺をa, bとすると c2 = a2 + b2の関係が成り立つ。
abcabcc2 = a2 + b2


三平方の定理の証明


AB=c, BC=a, AC=b, ∠ACB=90°の直角三角形ABCと合同な直角三角形を図のように並べる。
このときa2+b2=c2となることを次のように証明した。
空欄ア、イに適切な文字または数字を入れよ。
ABCDEFGHacbacb △ABCの面積は となり、影の着いた部分はその4倍になるので、 4×
また、正方形ABDFは1辺cなので、面積はc2、正方形EGHCの1辺はなので、面積は()2
ABDFからEGHCを引くと影の着いた部分の面積になるので
4× = c2 - ()2
これを計算すると
2ab = c2 - a2 + 2ab -b2
a2+b2=c2


∠ABC=90°、AB=BCの直角二等辺三角形ABCがある。Bを通る直線lに、A,Cからそれぞれ垂線をひき、交点をD,Eとすると △ADBと△BECは合同となる。
AB=c, AD=b, DB=aとするとき、 a2+b2=c2となることを次のように証明した。
空欄ア、イ、ウに適切な文字または数字を入れよ。
lABCDEabcabc
台形の面積は(上底+下底)×高さ÷2 なので 台形ADECの面積 = ()×()÷2
また、ADECの面積は△ABC+△ADB+△BECからも出せるので ADECの面積 = c22 + 2×
よって ()×()÷2 = c22 + 2×

これを計算すると
12(a2+2ab+b2)=c22+ab
a2+2ab+b2 = c2 + 2ab
a2+b2 = c2

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