平行四辺形4

次の問いに答えよ。

図でAB=CD,AB//CDである。ABの中点をMとし、CDの中点をNとするとき四角形MENFが平行四辺形になることを証明せよ。

A B C D E F M N

ABCDの辺AB、BCをそれぞれ一辺とする正三角形ABE、正三角形BCFをつくる。このとき△AED≡△CDFとなることを証明せよ。

A B C D E F

ABCDを対角線BDを折り目として折り返す。Cが移る点をEとする。このとき△ABD≡△EBDとなることを証明せよ。

A B C D E

右のように ABCDと ABEFがある。このとき四角形DCEFは平行四辺形になることを証明せよ。

A B C D E F


四角形 ANDM において
AB=CD(仮定)、M、N がそれぞれの中点なので AM=ND
AB//CD(仮定)より AM//ND
よって 1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形 ANDM は平行四辺形となる。
よって AN//MD(平行四辺形の対辺)・・・①
四角形 MCNB でも同様にすると MCNB は平行四辺形となるのでMC//BN(平行四辺形の対辺)・・・②
①、②より 2 組の対辺がそれぞれ平行なので四角形 MENF は平行四辺形となる。
△AED と△CDF において
∠DAE=∠DAB-∠EAB・・・①
∠DCF=∠BCD-∠FCB・・・②
∠DAB=∠BCD( ABCD の対角)・・・③
∠EAB=∠FCB=60°(正三角形の角)・・・④
①②③④より∠DAE=∠DCF・・・⑤
AB=AE(正三角形の辺)・・・⑥
AB=CD( ABCD の対辺)・・・⑦
⑥⑦より AE=CD・・・ ⑧
BC=CF(正三角形の辺)・・・⑨
BC=AE( ABCD の対辺)・・・⑩
⑨⑩より CF=AE・・・⑪
⑤⑧⑪より 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AED≡△CDF
△ABD と△EBD において AB=CD(平行四辺形の対辺)・・・①
ED=CD(折り返した辺)・・・②
①、②より AB=ED・・・③
AD=CB(平行四辺形の対辺)・・・④
EB=CB(折り返した辺)・・・⑤
④、⑤より AD=EB・・・⑥
BD=DB(共通)・・・⑦
③、⑥、⑦より3組の辺がそれぞれ等しいので△ABD≡△EBD
AB=DC ( ABCD の対辺)
AB=FE ( ABEF の対辺)
よって DC=EF・・・①
AB//DC ( ABCD の対辺)
AB//FE ( ABEF の対辺)
よって DC//EF・・・②
①、②より1組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形 DCEF は平行四辺形となる。

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