合同証明3

PCが線分ABの垂直二等分線のとき△APC≡△BPCとなることを証明しなさい。

A B C P

図でOはABの中点、∠OCA=∠ODBのとき△AOC≡△BODとなることを証明せよ。

A B C D O

図でAC=BD, AC//BDならば、BC//ADとなることを証明しなさい。

A B C D

△ABCの辺ABの中点をMとする。点Pは辺BC上の点である。PMの延長上にPM=QMとなる点Qをとる。このときBC//QAとなることを証明せよ。

A B C M P Q


△APCと△BPCにおいて
PCが線分ABの垂直二等分線なので AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90°
PCは共通
よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△APC≡△BPC


△AOCと△BODにおいて
仮定より∠OCA=∠ODB・・・①
OがABの中点なのでAO=BO・・・②
対頂角は等しいので∠AOC=∠BOD・・・③
三角形の内角の和は180度なので∠OAC=180°-∠OCA-∠AOC・・・④
三角形の内角の和は180度なので∠OBD=180°-∠ODB-∠BOD・・・⑤
①, ③, ④, ⑤より∠OAC=∠OBD・・・⑥
②、③、⑥より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△AOC≡△BOD


△ACBと△BDAにおいて
AC=BD(仮定)
∠CAB=∠DBA(平行線の錯角)
AB=BA (共通)
よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ACB≡△BDA
合同な三角形の対応する角は等しいので∠CBA=∠DAB
錯角が等しいのでBC//AD


△AQMと△BPMにおいて
AM=BM (BはABの中点)
QM=PM(仮定)
∠QMA=∠PMB(対頂角)
よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AMQ≡△BMQ
合同な三角形の対応する角は等しいので∠MPB=∠MQA
錯角が等しいのでQA//BC

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