グラフと四角形 1(1)解説

1(1) 直線m上に点A, 直線n上に点D、x軸上に点B,Cをとり 長方形ABCDをつくる。直線mの式がy=2x, 直線nが y=− 1 2 x+14 である。点Aのy座標をpとする。
点Aのx座標をpで表わせ 点Dのx座標をpで表わせ 辺ABの長さをpで表わせ 辺ADの長さをpで表わせ ABCDが正方形になるときのpの値を求めよ。
x y O A B C D m n


Aは直線m上の点で, y座標がpなので, y=pを y=2xに代入すると
p = 2x
x = 12p


Dは直線n上の点で, y座標がAと同じなので y=pを y=-12x+14に代入すると
p=-12x+14
12x=-p+14
x = -2p+28


Aのy座標は問題文にあるとおり y=p, Bはx軸上の点なので y=0
よって
AB = p-0 = p


Aのx座標は ①で出したとおり x = 12p,
Dのx座標は②で出したとおり x= -2p+28
よって
AD = -2p+28 - 12p
  = -52p+28


⑤ 正方形はすべての辺の長さが等しいので, AB=ADである。
③よりAB = p, ④より AB=-52p+28
よって
p = -52p+28
72p =28
p = 8

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