関数と図形1 解説

1
図のようにy=-2x+6, y=2x+6, y=-x-3 が交わっている。
△ABCの面積を求めなさい。
ABCxyy=2x+6y=-2x+6y=-x-3

座標上の三角形の面積を求める場合、底辺はx軸またはy軸に平行な辺にする。
軸に平行な辺がなければ、軸に平行な直線で三角形を切断して 2つの三角形にして求める。

点A, B, Cの座標を出す。 直線の交点は式を連立して出す。
y=-2x+6とy=-x-3の交点Cは
-2x+6=-x-3
-x=-9
x=9
y=-9-3=-12
C(9, -12)
Aはy=-2x+6とy=2x+6の交点なので
-2x+6=2x+6
x=0
y=6
A(0, 6)
Bはy=-x-3とy=2x+6の交点なので
-x-3=2x+6
-3x=9
x=-3
y=3-3=0
B(-3,0)

xyy=2x+6y=-2x+6y=-x-3A(0, 6)C(9, -12)P(0,-3)B(-3,0) y=-x-3とy軸との交点をPとすると
P(0,-3)

△ABCをy軸で切断して△ABPと△ACPにする。
△ABPはAPを底辺とするとOBが高さになるので、
底辺9, 高さ3、面積は9×3÷2=13.5
△ACPはAPを底辺とするとCとy軸の距離が高さになる。
Cとy軸との距離はCのx座標に等しいから
底辺9, 高さ9、面積は9×9÷2=40.5
よって△ABC=△ABP+△ACP=13.5+40.5=54
【答】54

2
図でP(-4,4), Q(5,-1), R(2,6)である。頂点Qを通り、
△PQRの面積を2等分する直線の式を求めなさい。
PQRxyO

三角形の頂点を通り、その三角形の面積をに等分する直線は
頂点と対辺の中点を通る
P(-4, 4), R(2,6)なので
辺PRの中点は(-1, 5)となる。
≫ 中点の座標の出し方 Q(5,-1)と(-1,5)を通る直線の式を出すと
傾きが-1-55-(-1) =-66 =-1
y=-x+bに(5,-1)を代入して
-1=-5+b
b=4
【答】y=-x+4

3
図でA(-1,3), B(-4,-3), C(5,-1), D(8,5) である。
ABCDの面積を2等分する、傾きが2の
直線の式を求めなさい。
ABCDxyO
平行四辺形の対角線の交点を通る直線は、平行四辺形の面積を二等分する。
また、平行四辺形の対角線は中点で交わるので、交点と中点は一致する
A(-1,3)、C(5,-1)なのでACの中点は(2,1)となる。
傾き2で、点(2,1)を通る直線の式を出すと
y=2x+bに(2,1)を代入する
1=4+b
b=-3
【答】y=2x-3

4
図でA(1,8), B(-4,-2), C(2,2), D(-1,4) である。
△ADC:△DBCの面積比を求めなさい。
OABCDxy
高さが同じで、底辺の長さの比がa:bの
三角形の面積比はa:bになる。
ABCabab面積比△ABD:△ADC = a:bD
△ADCと△DBCはAD,DBをそれぞれ底辺とすると、頂点Cが共通なので、高さが同じになる。
よって面積比△ADC:△DBCは線分比AD:DBに等しい。
A(1,8), D(-1, 4), B(-4, -2)なのでx座標で考えると
AからD…1-(-1)=2, DからB…-1-(-4)=3
よってAD:DB=2:3
【答】2:3

5 点A(6, 9)、点B(-2, 7)とする。  
AP+BPが最小となるようにx軸上にとる。  
その時のpの座標を求めよ。
ABOPxy
2点間の最短の道のり
2点PとQを結ぶ最短の道のりは線分PQである。

線対称の性質
点Aと直線lについて線対称な点をA'とすると
点Pが直線l上のどこにあってもPA=PA'となる。
AA'Pl
点Aとx軸について線対称な点をA'とすると、
上記の線対称の性質からAP=A'Pとなるので、
AP+BP=A'P+BPである。
ABOPxyA'
A'P+BPが最小の値になるのはBA'が直線のときである。
A'(6,-9), B(-2,7)なので A'とBの2点を通る直線の式は y=-2x+3
この直線がx軸と交わる点がPなので
0=-2x+3
x =32
答え(32, 0)

6
A(8,6), B(0,8), C(4,0), Dはy軸上の点でADとBCの交点をPとする。
△APCと△BPDの面積が等しくなるときのDの座標を求めなさい。
ABCDOPxy
等積変形
AP//BCのとき、△ABCと△PBCで高さと
底辺の長さがそれぞれ等しくなるので、
面積も等しくなる。
△ABC=△PBC
また、そこから△DBCを引いた
残りも等しくなるので △ADB=△PDC
ABCDP
△BPDと△APCの面積が等しいので、AB//CDである。
直線ABはA(8,6), B(0,8)の2点から式を出すと
y=-14x+8
これと平行なので直線CDの傾きが-14
すると直線CDのは傾き-14 でC(4,0)を通るので
式はy=-14x+1
よってD(0,1)
【答】(0,1)

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