放物線と面積　3解説

3. 図のように放物線と直線が点A(4,4),B(-2, 1)で交わっている。
x 軸上に点C(6,0)がある。放物線上に点P をとり、△ABP:△ABC の
面積比が4:5 になるようにする。点P の座標をすべて求めよ。

まず△ABCの面積を求める。
直線ABとx軸との交点を Dとする。
直線ABの式を求めると、
　傾き = (4-1)÷(4+2) = 12
y= 12 x+bに(4,4)を代入して　
4 = 12 ×4+b
b = 2
つまり直線ABは y= 12 x+2
y=0を代入して 0=12 x+2
x=-4
よって D(-4, 0)

△ADCの面積は
　底辺DC=6-(-4) = 10
高さはAのy座標 4 なので
△ADC = 10×4÷2=20
△BDCの面積は
　底辺DC=10
　高さはBのy座標 1なので
　△BDC = 10×1÷2=5
よって　△ABC = △ADC - △BDC = 20-5 = 15

△ABP:△ABCの面積比が 4:5なので
△ABP:15 = 4:5
△ABP = 15×4÷5 = 12
△ABPの面積が12となるような点Pの座標を求める。

点Pは図のように2つあると考えられるが、
ともに面積12であるから等積変形の考え方により
2つの点Pを結んだ直線は直線ABと平行である。
このABに平行でPを通る直線とy軸との交点をQとすると
△QBAも面積12となる。
直線ABの切片をR(0,2)とすると
△QBRは底辺をQRとして高さはBから
y軸におろした垂線の長さなので 2
△QRAは底辺をQRとして高さはAから
y軸におろした垂線の長さなので 4
よって
△QBA=△QBR+△QRA = QR×2÷2 + QR×4÷2 = 12
QR = 4
すると OR=2なので OQ=2+4 =6
切片が6なので PとQを通る直線は y= 12x+6
この直線と放物線との交点がPである。
A(4,4)が放物線上の点なので
y=ax²に代入して 4=16a
a=14
よって放物線の式は y=14x²

交点を求めると
　12x +6 =14x²
2x+24 = x²
x²-2x-24=0
(x+4)(x-6)=0
x=-4, 6
x=-4のとき y=4 なので　(-4,4)
x=6のとき y=9なので (6,9)
答 (-4,4), (6,9)