放物線と面積 2解説

2. 放物線m 上に点A(6,9)がある。点A からy 軸、x 軸にそれぞれ 垂線を引き、交点をB,C とする。放物線m 上のx < 0 の部分に点P をとり、面積比が△ABP:△ACP=1:2 となるようにする。 このときの点P の座標をすべて求めよ。 A B C O m x y

点A(6,9)が放物線mのグラフ上にあるのでy=ax2にx=6,y=9を代入すると
9=36a
a=14
よってmの式はy=14x2

Pのx座標をxとすると
P(x,14x2)


点Pの位置は2通り考えられる。
1つ目はA,Bのy座標y=9よりPのy座標が小さいとき
△APCの底辺をACとするとAC=9
PからACに引いた垂線が高さなので高さ=6-x
よって△APCの面積=9×(6-x)÷2=92(6-x)

△ABPの底辺をABとするとAC=6
PからABの延長上に引いた垂線の長さが高さなので高さ=9-14x2
よって△ABPの面積=6×(9-14x2)÷2=3(9-14x2)

面積比が△ABP:△ACP=1:2なので
 92(6-x)=3(9-14x2)×2これを解くと
 27-92x=54-32x2
 32x2-92x-27=0
 3x2-9x-54=0
 x2-3x-18=0
 (x+3)(x-6)=0
 x=-3,6
 x<0よりx=-3
 よってP(-3,94)
A B C O m x y (6,9) 6 9 P

2つ目はA,Bのy座標y=9よりPのy座標が大きいとき
△APCの底辺をACとするとAC=9
PからCAの延長上に引いた垂線の長さが高さなので高さ=6-x
よって△APCの面積=9×(6-x)÷2=92(6-x)

△ABPの底辺をABとするとAC=6
PからABの延長上に引いた垂線の長さが高さなので高さ=14x2-9
よって△ABPの面積=6×(9-14x2)÷2=3(14x2-9)
面積比が△ABP:△ACP=1:2なので
 92(6-x)=3(14x2-9)×2これを解くと
 27-92x=32x2-54
 32x2+92x-81=0
 3x2+9x-162=0
 x2+3x-54=0
 (x-6)(x+9)=0
 x=6,-9
 x<0よりx=-9
 よってP(-9,814)
A B C O m x y (6,9) P 9 6

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