放物線と面積　2解説

2. 放物線m 上に点A(6,9)がある。点A からy 軸、x 軸にそれぞれ 垂線を引き、交点をB,C とする。放物線m 上のx < 0 の部分に点P をとり、面積比が△ABP:△ACP=1:2 となるようにする。 このときの点P の座標をすべて求めよ。

点A(6,9)が放物線mのグラフ上にあるのでy=ax²にx=6,y=9を代入すると
9=36a
a=14
よってmの式はy=14x²

Pのx座標をxとすると
P(x,14x²)


点Pの位置は2通り考えられる。
1つ目はA,Bのy座標y=9よりPのy座標が小さいとき
△APCの底辺をACとするとAC=9
PからACに引いた垂線が高さなので高さ=6-x
よって△APCの面積=9×(6-x)÷2=92(6-x)

△ABPの底辺をABとするとAC=6
PからABの延長上に引いた垂線の長さが高さなので高さ=9-14x²
よって△ABPの面積=6×(9-14x²)÷2=3(9-14x²)

面積比が△ABP:△ACP=1:2なので
　92(6-x)=3(9-14x²)×2これを解くと
　27-92x=54-32x²
　32x²-92x-27=0
　3x²-9x-54=0
　x²-3x-18=0
　(x+3)(x-6)=0
　x=-3,6
　x<0よりx=-3
　よってP(-3,94)


2つ目はA,Bのy座標y=9よりPのy座標が大きいとき
△APCの底辺をACとするとAC=9
PからCAの延長上に引いた垂線の長さが高さなので高さ=6-x
よって△APCの面積=9×(6-x)÷2=92(6-x)

△ABPの底辺をABとするとAC=6
PからABの延長上に引いた垂線の長さが高さなので高さ=14x²-9
よって△ABPの面積=6×(9-14x²)÷2=3(14x²-9)
面積比が△ABP:△ACP=1:2なので
　92(6-x)=3(14x²-9)×2これを解くと
　27-92x=32x²-54
　32x²+92x-81=0
　3x²+9x-162=0
　x²+3x-54=0
　(x-6)(x+9)=0
　x=6,-9
　x<0よりx=-9
　よってP(-9,814)