円周角の定理


円周角の定理「等しい弧に対する円周角は中心角の12である。」を説明したい。図で∠OAC=x,∠OBC=yとするとき円周角(∠ACB)が中心角(∠AOB)の12となることを説明せよ。

A B C O P

円周角の定理「等しい弧に対する円周角は中心角の12である。」を説明したい。図で∠OAC=x,∠OBC=yとするとき円周角(∠ACB)が中心角(∠AOB)の12となることを説明せよ。

A B C O P


OA=OC(円O の半径)より2辺が等しいので△OACは二等辺三角形となる。
よって∠OCA=∠OAC=x(二等辺三角形の底角)・・・①
三角形の外角は隣り合わない二つの内角の和に等しいので∠AOP=2x・・・②
同様にOB=OCより△OBCは二等辺三角形なので
∠OCB=∠OBC=y・・・③
∠BOP=2y・・・④
①、③より∠ACB=x+y・・・⑤
②、④より∠AOB=2x+2y・・・⑥
⑤、⑥より∠ACB =12∠AOB となり円周角が中心角の 12となる


OA=OC(円O の半径)より2辺が等しいので△OACは二等辺三角形
よって∠OCA=∠OAC=x(二等辺三角形の底角)・・・①
三角形の外角は隣り合わない二つの内角の和に等しいので∠AOP=2x・・・②
同様にOB=OCより△OBCは二等辺三角形なので
∠OCB=∠OBC=y・・・③
∠BOP=2y・・・④
①、③より∠ACB=y-x・・・⑤
②、④より∠AOB=2y-2x・・・⑥
⑤、⑥より∠ACB =12∠AOB となり円周角が中心角の 12となる