平行四辺形の性質を利用した証明

次の証明をしなさい。

ABCDの対角線BDに頂点A,Cからそれぞれ垂線を下ろしその交点をE,Fとする。このときBE=DFとなることを証明せよ。

A B C D E F

ABCDでBE=DFである。このときAE=CFとなることを証明せよ。

A B C D E F

ABCDの対角線の交点をOとする。点Oを通る直線と辺AB,CDとの交点をそれぞれE,Fとする。このときAE=CFを証明せよ。

A B C D E F O

ABCDの頂点Dを頂点Bに重ねるように折り返す。そのときの折り目をEFとする。△EBFが二等辺三角形になることを証明せよ。

A B C D E F G


△ABE と△CDF において
AB=CD( ABCD の対辺)
∠ABE=∠CDF(平行線の錯角)
∠AEB=∠CFD=90°(垂線)
よって直角三角形で斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDF
合同な三角形の対応する辺は等しいので BE=DF
△ABE と△CDF において
AB=CD( ABCD の対辺)
∠ABE=∠CDF( ABCD の対角)
BE=DF(仮定)
よって 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDF
合同な三角形の対応する辺は等しいので AE=CF
△AEO と△CFO において
AO=CO (平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる)
∠AOE=∠COF (対頂角)
∠EAO=∠FCO (AB//CD 錯角)
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△AEO≡△CFO
合同な三角形の対応する辺は等しいので AE=CF

∠DEF=∠BEF(折り返した角)
∠DEF=∠EFB(平行線の錯角)
よって∠BEF=∠EFB
2角が等しいので△EBF は二等辺三角形になる。