平行四辺形3

ABCDの対角線BD上に頂点AとCから垂線を下ろしその交点をE,Fとする。

A B C D E F

△ABE≡△CDFを証明せよ。

(1)の結果を利用して△AEF≡△CFEを証明せよ。

(2)の結果を利用して四角形AECFが平行四辺形になることを証明せよ。

ABCDでM,Nはそれぞれ辺AD,BCの中点である。

A B C D P Q M N

四角形ANCMが平行四辺形となることを証明しなさい。

四角形MBNDが平行四辺形になることを証明しなさい。

(1),(2)の結果を利用して四角形PNQMが平行四辺形になることを証明しなさい。


△ABE と△CDF において
AB=CD( ABCD の対辺)
∠AEB=∠CFD=90°(垂線)
∠ABE=∠CDF(平行線の錯角)
よって直角三角形の斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△ABE≡△CDF
△AEF と△CFE において
(1)より AE=CF(合同な図形の対応する辺)
∠AEF=∠CFE=90°(垂線)
EF=FE(共通)
よって 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△ABF≡△CFE
(2)より AE=CF(合同な図形の対応する辺)
AF=CE(合同な図形の対応する辺)
よって 2 組の対辺がそれぞれ等しいので四角形 AECF は平行四辺形となる。


  四角形 ANCM において
AD=BC( ABCD の対辺)
AM= 1 2 AD(M は AD の中点)
NC= 1 2 BC(M は BC の中点)
よって AM=NC・・・①
AD//BC( ABCD の対辺)より AN//NC・・・②
①、②より 1 組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形 BNDM は平行四辺形となる。
四角形 BNDM において
AD=BC( ABCD の対辺)
MD= 1 2 AD(M は AD の中点)
BN= 1 2 BC(M は BC の中点)
よって MD=BN・・・①
AD//BC( ABCD の対辺)より MD//BN・・・②
①、②より 1 組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形 BNDM は平行四辺形となる。
(1)より AN//MC( ANCM の対辺)
(2)より MB//DN( BNDM の対辺)
よって 2 組の対辺がそれぞれ平行なので四角形 PNQM は平行四辺形となる