平行四辺形2

次の問いに答えよ。

ABCDの対角線ACとBDの交点をOとして、Oを通る直線と辺AB、CDとの交点をそれぞれE、Fとする。このとき四角形AECFが平行四辺形となることを証明せよ。

A B C D E F O

ABCDの辺AB,CDの中点をそれぞれM,Nとすると四角形MBNDは平行四辺形となることを証明しなさい。

A B C D M N

ABCDの対角線の交点をOとする。対角線BD上にEO=FOとなるように、EとFをとると四角形AECFは平行四辺形になることを証明せよ。

A B C D E F O


△AOE と△COF において
AO=CO(平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる)・・・①
∠AOE=∠COF(対頂角)・・・②
∠OAE=∠OCF(平行線の錯角)・・・③
①、②、③より1組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので△AOE≡△COF
合同な三角形の対応する辺は等しいので OE=OF・・・④
①、④より対角線がそれぞれの中点で交わるので
四角形 AECF は平行四辺形となる。   
 四角形 MBND において
AB=CD( ABCD の対辺)
また、M, N はそれぞれ AB, DC の中点なので
MB=ND・・・①
AB//CD( ABCD の対辺)
よって MB//ND・・・②
①、②より 1 組の対辺が平行でその長さが等しいので四角形 MBND は平行四辺形となる
四角形 AECF において AO=CO( ABCD の対角線)
EO=FO(仮定)
よって対角線がそれぞれの中点で交わるので
四角形 AECF は平行四辺形となる。